Segundo a lenda, numa cidade no centro do mundo, um monge realiza a tarefa de mover 64 discos de um pilar para outro, usando apenas um pilar auxiliar, e de acordo com duas regras simples: só pode mover um disco de cada vez e nunca pode colocar um disco sobre outro de menor diâmetro. Quando terminar a tarefa, será o fim do mundo...
Este problema pode ser analisado sob o prisma da recursividade. Realmente, se soubermos resolver o problema para n-1 discos, sabemos facilmente resolvê-lo para n discos!
Como? Aplicando a solução para os n-1 discos duas vezes: primeiro, movendo todos os discos menos o de maior diâmetro para o pilar auxiliar, em seguinda movendo o disco de maior diâmetro para o pilar de destino, e finalmente movendo os n-1 discos que estão no pilar auxiliar para o pilar de destino...
E já está? Estaria se soubéssemos efectivamente mover os n-1 discos. E se não soubermos? Segundo a mesma lógica, bastaria saber mover n-2 discos, etc.
Repetindo o raciocínio, devemos chegar ao ponto em que basta saber mover 2 discos, e isso sabemos facilmente, com 3 movimentos: mover o disco de menor diâmetro para o pilar auxiliar, mover o disco de maior diâmetro para o pilar de destino, e finalmente mover disco de menor diâmetro do pilar auxiliar para o pilar de destino.
E quantos movimentos serão necessários para mover os 64 discos? Se representarmos por mov(n) o número de movimentos necessários para transportar n discos, ter-se-á:
mov(2) = 3
mov(3) = mov(2) + 1 + mov(2) = 3 + 1 + 3 = 7
mov(4) = mov(3) + 1 + mov(3) = 7 + 1 + 7 = 15 = 2^4 - 1
mov(5) = mov(4) + 1 + mov(4) = 15 + 1 + 15 = 31 = 2^5 - 1
...
mov(64) = 2^64 -1
o que dá exactamente 18 446 744 073 709 551 615 movimentos! Se o monge conseguisse realizar um movimento por segundo, demoraria aproximadamente 5849 milhões de séculos para concluir a tarefa...
Ora aqui está outro belo tema para uma página Web a desenvolver por alunos do 7º ano do nosso ensino secundário.
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